PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

SUB BAB 1

PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)

1.  Konsep Persamaan Linear Satu Variabel

Sebelum kita masuk ke pembahasan persamaan linear, kita harus mengetahui lebih dahulu jenis-jenis kalimat dalam matematika. Jenis kalimat yang dapat menggunakan persamaan linear adalah kalimat terbuka. 

b. Kalimat Pernyataan

Perhatikan contoh beberapa kalimat berikut ini :

1)        6 + 4 = 10

2)        9 adalah bilangan genap

3)        Jika x bilangan asli, maka 2x + 2 bilangan ganjil

Kalimat-kalimat tersebut langsung dapat kita tentukan benar atau salahnya. Kalimat 1) adalah kalimat yang bernilai benar karena memberikan informasi yang sesuai dengan keadaan yang ada, sedangkan kalimat 2) dan 3) adalah kalimat yang bernilai salah karena informasi yang diberikan bertentangan dengan yang ada. 

2. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel

Coba kalian perhatikan contoh dua kalimat terbuka di bawah ini.

a. x + 1 = 8

b. y – 5 = 2

Kedua kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung “=” (sama dengan). Kalimat terbuka seperti itu disebut persamaan.

Pada persamaan di atas, setiap variabelnya berpangkat satu. Persamaan yang demikian disebut persamaan linear. Karena kedua persamaan linear tersebut juga hanya memiliki satu variabel, yaitu x dan y, maka persamaan-persamaan yang demikian disebut persamaan linear satu variabel (PLSV). 

3. Bentuk Setara (Ekuivalen) Persamaan Linear Satu Variabel

Sifat-sifat kesetaraan persamaan linear satu variabel :

• Jika masing-masing ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan linear satu variabel dijumlah dengan bilangan yang sama, maka menghasilkan persamaan linear satu variabel yang setara.

• Jika masing-masing ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan linear satu variabel dikurangi dengan bilangan yang sama, maka menghasilkan persamaan linear satu variabel yang setara.

• Jika masing-masing ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan linear satu variabel dikalikan dengan bilangan yang sama dan bukan nol, maka menghasilkan persamaan linear satu variabel yang setara.

• Jika masing-masing ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan linear satu variabel dibagi dengan bilangan yang sama dan bukan nol, maka menghasilkan persamaan linear satu variabel yang setara.

Sifat-sifat yang kita temukan di atas, dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel.

Perhatikan contoh persamaan-persamaan berikut ini beserta ilustrasinya berupa neraca dalam keadaan seimbang. Neraca dalam keadaan seimbang tersebut menunjukkan ruas kiri sama dengan ruas kanan.

4.   Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Contoh soal :

Ahmad ingin menjawab secara mencongkak soal persamaan linear satu variabel 3x = 9 dengan x variabel bilangan asli. Dia mengganti x dengan 3 sehingga kalimat terbuka 3x = 9 menjadi benar.

3x = 9 ⇒ 3 . 3 = 9

x = 3 adalah penyelesaian / jawaban akar PLSV 3x = 9

Jadi himpunan penyelesaian dari 3x = 9 adalah {3}. 

a.  Penyelesaian PLSV dengan Cara Substitusi

Cara penyelesaian PLSV dengan substitusi adalah dengan mengganti variabelnya dengan nilai-nilai pengganti yang telah ditentukan sehingga persamaan menjadi kalimat benar. Nilai pengganti yang membuat PLSV bernilai benar disebut penyelesaian dari PLSV atau dapat juga disebut sebagai akar dari PLSV tersebut.

Contoh soal :

Tentukan penyelesaian dari persamaan x + 16 = 19, x adalah himpunan bilangan cacah dan tentukan pula akar PLSV serta himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian :

Untuk x = 1, maka 1 + 16 = 17 (salah)

Untuk x = 2, maka 2 + 16 = 18 (salah)

Untuk x = 3, maka 3 + 16 = 19 (benar)

Untuk x = 4, maka 4 + 16 = 20 (salah)

x = 3 merupakan penyelesaian x + 16 = 19

x = 3 merupakan akar PLSV x + 16 = 19

Hp = {3}

Jadi, akar dari PLSV x + 16 = 19 yang merupakan himpunan penyelesaian adalah x = 3.

b.         Penyelesaian PLSV dengan Bentuk Setara

1.         Kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

Contoh soal :

Selesaikanlah!

1)        x – 3 = 5

 x – 3 + 3 = 5 + 3 (kedua ruas ditambah dengan 3)

          x = 8

Jadi, akar dari x – 3 = 5 adalah 8.

2)        2x – 3 = x + 1

 <=>    2x – 3 + 3  = x + 1 + 3 (kedua ruas ditambah dengan 3)

 <=> 2x = x + 4

 <=> 2x – x   = x – x + 4 (kedua ruas dikurangi dengan x)

 <=>      x  = 4

Jadi, akar dari 2x – 3 = x + 1 adalah 4.

2.    Kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama

Contoh soal :

Selesaikanlah!

1)        2x = 6, x himpunan bilangan asli

2)       -2/3y = 4, y himpunan bilangan bulat

Penyelesaian :

1)        2x = 6

 <=> 2x/2 = 6/2  (kedua ruas dibagi dengan 2, agar koefisien x menjadi 1)

<=> x = 3

Jadi, akar dari 2x = 6 adalah 3.

2)        -2/3y = 4

<=> -3/2y × (-2/3y) = -3/2 × 4(kedua ruas dikali -3/2 agar koefisien y menjadi 1)

          y = -6

Jadi, akar dari -3/2y = 4 adalah -6

Sub Bab 2

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PtLSV)

1.    Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan bilangan cacah yang tertera pada garis bilangan berikut ini.

Misalnya, kita akan membandingkan dua bilangan yaitu 5 dan 3. 

Karena 5 = 1 + 4, ini berarti 5 lebih dari 1 atau 1 kurang dari 5.

Pernyataan di atas dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.

“5 lebih dari 1 ditulis 5 > 1, 1 kurang dari 5 ditulis 1 < 5 dan 5 tidak sama dengan 1 ditulis 5 ≠ 1”.

Berdasarkan uraian diatas, maka dapat didefinisikan suatu ketidaksamaan sebagai berikut. 

Ketidaksamaan adalah pernyataanyang memuat notasi < (kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari sama dengan), ≥ (lebih dari sama dengan) atau ≠ (tidak sama dengan).

Pada konsep ketidaksamaan, jika tanda hubung (=) pada persamaan linear satu variabel kita ganti dengan salah satu tanda ketidaksamaan maka bentuknya menjadi pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh soal :

1.         x + 3 < 5

2.         2y > 6

Contoh tersebut merupakan kalimat-kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan. Kalimat terbuka yang demikian disebut pertdiaksamaan.

Selanjutnya, bila diamati pertidaksamaan x + 3 < 5 mempunyai satu variabel yaitu x dan pertidaksamaan 2y > 6 mempunyai satu variabel yaitu y, x dan y pada pertidaksamaan tersebut merupakan variabel yang berpangkat tertinggi 1. Maka kedua pertidaksamaan itu disebut pertidaksamaan linear satu variabel 

2.    Bentuk Setara Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

1)  Perhatikan contoh berikut!

3 < 5 atau 5 > 3

• Jika kedua ruas ditambah 1 maka diperoleh :

3 + 1 < 5 + 1 atau 5 + 1 > 3 + 1

• Jika kedua ruas dikurangi 2 maka diperoleh :

3 – 2 < 5 – 2 atau 5 – 2 > 3 – 2

Dari uraian ini, ternyata penambahan atau pengurangan dengan bilangan yang sama pada kedua ruas tidak mengubah tanda ketidaksamaan.

Jadi, uraian di atas menunjukkan bahwa :

“Tanda sebuah ketidaksamaan tidak berubah, jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama”.

Secara matematis ditulis seperti berikut ini.

2)  Perhatikan contoh berikut ini!

2 < 4 atau 4 > 2

• Jika kedua ruas dikali dengan bilangan positif yang sama, misalnya dikali 2 maka diperoleh 2 × 2 < 4 × 2 atau 4 < 8, demikian juga dari 4 > 2, diperoleh 2 × 4 > 2 × 2, atau 8 > 4.

• Jika kedua ruas dibagi dengan bilangan positif yang sama, misalkan dibagi 1/2 maka diperoleh 2:1/2 < 4:1/2 atau 4 < 8; demikian juga dari 4 > 2, diperoleh 4:1/2 < 2:1/2 atau 8 > 4.

Dari uraian ini, ternyata perkalian atau pembagian dengan bilangan positif yang sama pada kedua ruas tidak mengubah tanda ketidaksamaan.

Jadi, uraian di atas menunjukkan bahwa :

“Tanda sebuah ketidaksamaan tidak berubah, jika kedua ruas dikalikan atau dibagikan dengan bilangan positif yang sama”.

Secara matematis ditulis seperti berikut ini.