Mengenal Aljabar

Aljabar merupakan salah satu materi yang wajib kamu ketahui, aljabar banyak kita jumpai dalam kehidupan kita sehari-hari. Sebagai contoh proses penjumlahan, perkalian, pengurangan dan pembagian merupakan bagian dari aljabar.  Yuk kita simak pembahasan tentang materi aljabar kelas 7 berikut ini:

A. Pengertian

Kata “aljabar” berasal dari bahasa Arab الجبر al-jabr, dan ini berasal dari risalah yang ditulis pada tahun 830 oleh ahli matematika Persia abad pertengahan. Aljabar merupakan salah satu materi matematika yang wajib kamu ketahui dan aljabar ini banyak kita jumpai dalam kehidupan kita sehari-hari.

Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui Sebagai contoh proses penjumlahan, perkalian, pengurangan dan pembagian merupakan bagian dari aljabar. 

Pada bagian ini kita akan membahas tentang:

1. Bentuk dan unsur aljabar 

2. Operasi Hitung pada aljabar 

3. Pecahan bentuk aljabar 

Jadi mari kita bahas satu per satu materi di atas 

B. Bentuk dan Unsur Aljabar

Salah satu bagian dari matematika ialah aljabar dimana aljabar memuat huruf yang mewakili bilangan tertentu pada keadaan tertentu. Pada materi aljabar ini dapat memanfaatkan kehidupan sehari-hari melalui masalah dan penyelesaiannya dengan konsep aljabar dalam matematika.

Sebagai contoh dalam kehidupan sehari-hari sebuah mobil setiap satu minggu menghabiskan bahan bakar dalam waktu tertentu, berapa banyak bahan bakar yang digunakan mobil selama 3 hari? Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menyajikan yang diketahui dalam soal melalui huruf-huruf atau melalui bilangan yang mewakili persoalan di atas. Hal – hal yang perlu disajikan ialah diketahui dan ditanyakan dalam sebuah soal serta penyelesaiannya.  Aljabar ini dapat membantu kita dalam menyelesaikan masalah sehari-hari. Hal yang diketahui dalam soal seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari,dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

C. Unsur-Unsur Aljabar

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 6x + 3y + 7x – 6y + 9.

Secara terperinci pada contoh tersebut merupakan bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …, z. Dengan angka 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p × q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Bentuk aljabar lain dapat diperlihatkan dari contoh berikut.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5(x) atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Tak Sejenis

Sebelum kita membahas tentang suku sejenis dan tak sejenis, ada baiknya perhatikan pengertian di bawah ini 

a. Suku

Suku ialah variabel (peubah) beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Suku itu sendiri terbagi atas dua yaitu suku-suku sejenis dan suku tak sejenis. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. 

contoh:

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama

contoh:

b. Suku Satu

Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

contoh: 4x, 2ab², –7xy, …

c. Suku Dua

Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. 

contoh: 8x + 3, a²– 4, x²–4x, …

d. Suku Tiga

Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. 

contoh: x² – x + 1, 3x + 2y – xy, …

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

B. Operasi Hitung Pada Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

contoh:

2x + 3x = 5x (dapat dijumlahkan karena sejenis)

6x – 3y =.. ( tidak dapat dikurangkan karena tidak sejenis)

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a × (b – c) = (a × b) – (a × c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Perhatikan uraian berikut:

(a+b)n  = a + b                → koefisiensinya 1  1

(a + b)³ = a + b (a + b)²

Dimana (a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + ab + ab + b²

= a² + 2ab + b² = (a + b)³ = a + ba + b² = a + ba + 2ab + b²

= a³ + 2a²b+ ab² + a²b + 2ab² + b² = a³ + 3a²b +

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara mensubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya.

Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut 

a. 12pq dan 8pq 

b. 45x5y3 dan 50x4y3 

Penyelesaian:

a. 12pq = 2² × 3 × p × q

8pq³ = 3³ × p × q²

KPK  = 2³ × 3 × p q²

KPK = 24pq³

b.  45x5y3 dan 50x4y3

45x5y3=32×5×x3×y2

50x4y3=2×52×x4×y3

KPK = 2×32×52×x5×y3=450x5y3

FPB = 5×x4×y2=5x4y2 

C. Pecahan Bentuk Aljabar

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar.

Perhatikan contoh berikut:

Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar berikut,

b. Perkalian dan Pembagian

Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan.

Perhatikan contoh berikut:

Tentukan hasil perkalian pecahan bentuk aljabar berikut,

c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar.

Perhatikan contoh berikut:

Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut,